Paradoxo de São Petersburgo Ligações externas | Menu de navegaçãoMais informação
ParadoxosTeoria das probabilidades
paradoxosteoria das probabilidades1738Daniel BernoulliNicolau I Bernoulli1713cara ou coroaGeorges-Louis Leclerc, conde de Buffonséculo XVIII
O paradoxo de São Petersburgo é um dos mais famosos paradoxos em teoria das probabilidades. Foi publicado pela primeira vez em 1738 em um artigo pelo matemático Daniel Bernoulli, embora tenha sido introduzido pelo seu primo Nicolau I Bernoulli em 1713.
O problema é o seguinte: suponhamos que Pedro e Paulo concordam em jogar um jogo de cara ou coroa. Se o primeiro lance der cara, Paulo dará duas moeda a Pedro; se o primeiro lance der coroa e o segundo der cara, Paulo dará a Pedro quatro moedas. Se cara só aparece no terceiro lance, Pedro receberá oito moedas. Em resumo, se só aparecer cara no n-ésimo lance, Pedro receberá 2 elevado a n moedas. Então, quanto deve Pedro pagar a Paulo pelo privilégio de jogar tal jogo?
O senso comum sugere uma soma finita muito modesta, mas a inacreditável resposta para esta pergunta é que Pedro pode pagar a Paulo qualquer quantia, digamos um milhão de moedas, por cada jogo e ainda esperar sair como vencedor. Em qualquer jogo simples, a probabilidade de Pedro ganhar duas moeda é 1/2, de ganhar 4 moedas é 1/4, de ganhar 8 moedas é 1/8 e assim por diante. Então, o total que Pedro pode esperar ganhar é dado pela série que tem soma infinita. Ou seja, não importa qual quantia (finita) Pedro pague a Paulo por cada jogo, ele sempre ganhará se for realizado um número suficiente de jogos. Para tanto estamos assumindo que o capital de Paulo e o número de jogos que os dois podem jogar são ilimitados. Quando Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon fez um teste empírico do caso, achou que em 2084 jogos Paulo teria pago a Pedro 10057 moedas. Isso indica que em qualquer jogo a esperança de Paulo, em vez de ser infinita, na verdade é algo inferior a 5 moedas, já que 5 x 2084 = 10420.
Diversas explicações foram dadas para o paradoxo durante o século XVIII, embora algumas pessoas tenham preferido, como solução, observar que o problema é inerentemente impossível, pois a fortuna de Paulo é necessariamente finita; portanto, ele não poderia pagar as somas ilimitadas que poderiam ser necessárias no caso de uma longa demora no aparecimento de cara.
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