Tjyylli

 Nota: Para outros significados de RLC, veja RLC.

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Um circuito RLC (também conhecido como circuito ressonante ou circuito aceitador) é um circuito elétrico consistindo de um resistor (R), um indutor (L), e um capacitor (C), conectados em série ou em paralelo.

O circuito RLC é chamado de circuito de segunda ordem visto que qualquer tensão ou corrente nele pode ser descrita por uma equação diferencial de segunda ordem.

Parâmetros fundamentais |

Existem dois parâmetros fundamentais que descrevem o comportamento dos circuitos RLC: a frequência de ressonância e o factor de carga. Para além disso, existem outros parâmetros que podem ser derivados destes dois primeiros.

Frequência de ressonância |

A frequência natural ou de ressonância sem carga de um circuito RLC (em radianos por segundo) é:

ωo=1LC{displaystyle omega _{o}={1 over {sqrt {LC}}}}

Utilizando a unidade hertz, a frequência de ressonância fica:

fo=ωo2π=12πLC{displaystyle f_{o}={omega _{o} over 2pi }={1 over 2pi {sqrt {LC}}}}

A ressonância ocorre quando a impedância complexa Z_LC do ressonador LC se torna zero:

ZLC=ZL+ZC=0{displaystyle Z_{LC}=Z_{L}+Z_{C}=0}

Ambas estas impedâncias são função de uma frequência angular s complexa:

ZC=1Cs{displaystyle Z_{C}={1 over Cs}}

ZL=Ls{displaystyle Z_{L}=Ls}

Considerando estas duas expressões acima iguais e resolvendo para s, tem-se:

s=±jωo=±j1LC{displaystyle s=pm jomega _{o}=pm j{1 over {sqrt {LC}}}}

onde a frequência de ressonância ω_o é dada pela expressão acima.

Fator de carga |

O fator de carga do circuito (em radianos por segundo) é:

ζ=R2L{displaystyle zeta ={R over 2L}}

Para aplicações em circuitos osciladores, é geralmente desejável que o fator de carga seja o menor possível ou, de igual forma, aumentar o fator de qualidade (Q) o máximo possível. Na prática, isto requer uma redução na resistência R no circuito para uma quantia tão baixa quanto fisicamente possível. Neste caso, o circuito RLC torna-se uma boa aproximação do circuito LC ideal, que não é realizável na prática (mesmo que a resistência seja removida do circuito, ainda existe uma resistência pequena, porém diferente de zero no fio e nas conexões entre os elementos do circuito que não pode ser eliminada totalmente).

Alternativamente, para aplicações em filtros passa-banda, o factor de carga é escolhido baseado na largura de banda desejada do filtro. Para uma maior largura de banda, um maior fator de carga é necessário, e para uma largura de banda menor, utiliza-se um menor fator de carga. Na prática, isto requer ajustar os valores relativos da resistência R e do indutor L no circuito.

Parâmetros derivados |

Os parâmetros derivados incluem largura de banda, fator Q e frequência de ressonância com carga.

Largura de banda |

O circuito RLC pode ser utilizado como um filtro passa-faixa ou rejeita-faixa, e a sua largura de banda (em radianos por segundo) é:

Δω=2ζ=RL{displaystyle Delta omega =2zeta ={R over L}}

Alternativamente, a largura de banda em hertz é

Δf=Δω2π=ζπ=R2πL{displaystyle Delta f={Delta omega over 2pi }={zeta over pi }={R over 2pi L}}

A largura de banda é a medida do comprimento da resposta em frequência das duas frequências com metade da potência do sinal de entrada. Como resultado, esta medida de largura de banda é muitas vezes chamada de "comprimento total a metade da potência". Visto que a potência é proporcional ao quadrado da tensão do circuito (ou corrente), a resposta em frequência irá cair a 12{displaystyle {1 over {sqrt {2}}}} nas frequências de metade da potência.

Qualidade ou factor Q |

A qualidade do circuito, ou factor Q (ver Equalizador), é calculada como a razão entre a frequência de ressonância ωo{displaystyle omega _{o}} e a largura de banda Δω{displaystyle Delta omega } (em radianos por segundo):

Q=ωoΔω=ωo2ζ=LRLC=1RLC{displaystyle Q={omega _{o} over Delta omega }={omega _{o} over 2zeta }={L over R{sqrt {LC}}}={1 over R}{sqrt {L over C}}}

Ou, em hertz:

Q=foΔf=2πfoLR=1R2C/L=1RLC{displaystyle Q={f_{o} over Delta f}={2pi f_{o}L over R}={1 over {sqrt {R^{2}C/L}}}={1 over R}{sqrt {L over C}}}

Q é uma unidade adimensional.

Ressonância com carga |

A frequência de ressonância com carga deriva da frequência de ressonância natural e do factor de carga. Se o circuito estiver com subcarga, verifica-se que

ζ<ωo{displaystyle zeta <omega _{o}}

então pode-se definir a ressonância com carga como

ωd=ωo2−ζ2{displaystyle omega _{d}={sqrt {omega _{o}^{2}-zeta ^{2}}}}

Em um circuito oscilador

ζ≪ωo{displaystyle zeta ll omega _{o}}.

E, como resultado

ωd=ωo {displaystyle omega _{d}=omega _{o} } (approx).

Configurações |

Todo circuito RLC consiste de dois componentes: uma fonte de alimentação e um ressonador. Existem dois tipos de fontes de alimentação, a fonte de Thévenin e a fonte de Norton. Da mesma forma, existem dois tipos de ressonadores, os LC série e o LC paralelo. Como resultado, existem quatro configurações de circuitos RLC:

• LC série com fonte de alimentação do tipo Thévenin


• LC série com fonte de alimentação do tipo Norton


• LC paralelo com fonte de alimentação do tipo Thévenin


• LC paralelo com fonte de alimentação do tipo Norton

Análise do circuito |

RLC série com fonte da alimentação do tipo Thévenin |

Neste circuito, os três componentes estão todos em série com a fonte de tensão.

Notações do circuito RLC série: v - a tensão da fonte de alimentação (medida em volts V) i - a corrente do circuito (medida em ampères A) R - a resistência do resistor (medida em ohms = V/A); L - a indutância do indutor (medida em henrys = H = Wb/A = V·s/A) C - a capacitância do capacitor (medida em farads = F = C/V = A·s/V)

Dados os parâmetros v, R, L, e C, a solução para a corrente (I) utilizando a Lei da Tensão de Kirchoff é:

vR+vL+vC=v{displaystyle {v_{R}+v_{L}+v_{C}=v},}

Para uma tensão variável com o tempo v(t), isto se torna

Ri(t)+Ldidt+1C∫−∞ti(τ)dτ=v(t){displaystyle Ri(t)+L{{di} over {dt}}+{1 over C}int _{-infty }^{t}i(tau ),dtau =v(t)}

Rearranjando a equação [dividindo por L e derivando ambos os termos] tem-se a seguinte equação diferencial de segunda ordem:

d2idt2+RLdidt+1LCi(t)=1Ldvdt{displaystyle {{d^{2}i} over {dt^{2}}}+{R over L}{{di} over {dt}}+{1 over {LC}}i(t)={1 over L}{{dv} over {dt}}}

Definem-se agora dois parâmetros chave:

ζ=R2L{displaystyle zeta ={R over 2L}}

e

ω0=1LC{displaystyle omega _{0}={1 over {sqrt {LC}}}}

sendo ambos medidos em radianos por segundo.

Substituindo estes parâmetros na equação diferencial, obtém-se:

d2idt2+2ζdidt+ω02i(t)=1Ldvdt{displaystyle {{d^{2}i} over {dt^{2}}}+2zeta {{di} over {dt}}+omega _{0}^{2}i(t)={1 over L}{{dv} over {dt}}}

A solução para Resposta de Entrada Zero (ZIR) |

Colocando a entrada (fonte de tensão) em zero, obtém-se:

d2idt2+2ζdidt+ωo2i(t)=0{displaystyle {{d^{2}i} over {dt^{2}}}+2zeta {{di} over {dt}}+omega _{o}^{2}i(t)=0}

com as condições iniciais para a corrente do indutor, I_L(0), e a tensão do capacitor V_C(0). De modo a resolver a equação propriamente, as condições iniciais necessárias são I(0) e I'(0).

O primeiro já foi feito, visto que a corrente na total é igual à corrente no indutor, portanto

i(0)=iL(0){displaystyle i(0)=i_{L}(0),}

A segunda é obtida aplicando a Lei da Tensão de Kirchoff novamente:

vR(0)+vL(0)+vC(0)=0{displaystyle v_{R}(0)+v_{L}(0)+v_{C}(0)=0,}

⇒i(0)R+i′(0)L+vC(0)=0{displaystyle Rightarrow i(0)R+i'(0)L+v_{C}(0)=0,}

⇒i′(0)=1L[−vC(0)−I(0)R]{displaystyle Rightarrow i'(0)={1 over L}left[-v_{C}(0)-I(0)Rright]}

Agora tem-se uma equação diferencial de segunda ordem homogênea com duas condições iniciais. Substituíndo os parâmetros ζ e ω₀, tem-se

i″+2ζi′+ω02i=0{displaystyle i''+2zeta i'+omega _{0}^{2}i=0}

Convertendo a forma da equação para seu polinomial característico

λ2+2ζλ+ω02=0{displaystyle lambda ^{2}+2zeta lambda +omega _{0}^{2}=0}

Utilizando a fórmula quadrática, acham-se as raízes como

λ=−ζ±ζ2−ω02{displaystyle lambda =-zeta pm {sqrt {zeta ^{2}-omega _{0}^{2}}}}

Dependendo dos valores de α e ω₀, existem três casos possíveis:

Sobrecarga/Regime sobreamortecido (aperiódico) |

Respostas do circuito RLC série com superamortecido

ζ>ω0⇒RC>4LR{displaystyle zeta >omega _{0}Rightarrow RC>4{L over R},}

Neste caso, as soluções do polinomial característico são dois números reais negativos. Isto é chamado de "sobrecarga".

Duas raízes reais negativas, as soluções são:

I(t)=Aeλ1t+Beλ2t{displaystyle I(t)=Ae^{lambda _{1}t}+Be^{lambda _{2}t}}

Carga crítica/ Regime amortecido crítico (aperiódico limite) |

Circuito RLC série com Amortecimento Crítico

ζ=ω0⇒RC=4LR{displaystyle zeta =omega _{0}Rightarrow RC=4{L over R},}

Neste caso, as soluções da polinomial característica são dois números reais negativos idênticos. Isto é chamado de "carga crítica".

As duas raízes são idênticas (λ1=λ2=λ{displaystyle lambda _{1}=lambda _{2}=lambda }). As soluções são:

I(t)=(A+Bt)eλt{displaystyle I(t)=(A+Bt)e^{lambda t}}

para constantes arbitrárias A e B

Subcarga/ Regime subamortecido (periódico amortecido; pseudo-periódico) |

ζ<ω0⇒RC<4LR{displaystyle zeta <omega _{0}Rightarrow RC<4{L over R},}

Neste caso. as soluções do polinomial característico são um conjugado complexo e possuem uma parte real negativa. Isto é chamado de "subcarga" e resulta em oscilações no circuito.

As soluções consistem de duas raízes conjugadas

λ1=−ζ+iωc{displaystyle lambda _{1}=-zeta +iomega _{c}}

e

λ2=−ζ−iωc{displaystyle lambda _{2}=-zeta -iomega _{c}}

onde

ωc=ωo2−ζ2{displaystyle omega _{c}={sqrt {omega _{o}^{2}-zeta ^{2}}}}

As soluções são:

i(t)=Ae(−ζ+iωc).t+Be(−ζ−iωc).t{displaystyle i(t)=Ae^{(-zeta +iomega _{c}).t}+Be^{(-zeta -iomega _{c}).t}}

para constantes arbitrárias A e B.

Utilizando a fórmula de Euler [eix=cos(x)+isen(x){displaystyle e^{ix}=cosleft(xright)+isenleft(xright)} ], pode-se simplificar a solução para

i(t)=e−ζt[Csin⁡(ωct)+Dcos⁡(ωct)]{displaystyle i(t)=e^{-zeta t}left[Csin(omega _{c}t)+Dcos(omega _{c}t)right]}

para constantes arbitrárias C e D.

Estas soluções são caracterizadas por uma resposta sinusoidal com decaimento exponencial. O tempo necessário para que as oscilações sejam eliminadas depende da qualidade do circuito, ou fator Q. Quanto maior a qualidade, mais tempo é necessário para que as oscilações decaiam.

Solução para Resposta de Estado Zero (ZSR) |

Com as condições iniciais configuradas para zero e utilizando a seguinte equação:

{d2Idt2+RLdIdt+1LCI(t)=1LdVdtI(0−)=I′(0−)=0{displaystyle left{{begin{matrix}{{d^{2}I} over {dt^{2}}}+{R over L}{{dI} over {dt}}+{1 over {LC}}I(t)={1 over L}{{dV} over {dt}}\\I(0^{-})=I'(0^{-})=0end{matrix}}right.}

d2idt2+2ζdidt+ωo2i(t)=1Ldvdt{displaystyle {{d^{2}i} over {dt^{2}}}+{2zeta }{{di} over {dt}}+{omega _{o}^{2}}i(t)={1 over L}{{dv} over {dt}}}

Existem duas aproximações que podem ser utilizadas para encontrar o ZSR:

1. A transformada de Laplace
   


2. A Integral de convolução.

Transformada de Laplace |

Primeiramente realiza-se a transformada de Laplace da equação diferencial de segunda ordem:

(s2+2ζs+ωo2)I(s)=sLV(s){displaystyle (s^{2}+2zeta s+omega _{o}^{2})I(s)={s over L}V(s)}

onde V(s) é a transformada de Laplace do sinal de entrada:

V(s)=L{v(t)}{displaystyle V(s)={mathcal {L}}left{v(t)right}}

Então resolve-se para a admitância complexa Y(s) (em siemens):

Y(s)=I(s)V(s)=sL(s2+2ζs+ωo2){displaystyle Y(s)={I(s) over V(s)}={s over L(s^{2}+2zeta s+omega _{o}^{2})}}

Pode-se utilizar a admitância Y(s) e a transformada de Laplace da tensão de entrada V(s) para encontrar a corrente elétrica complexa I(s):

I(s)=Y(s)×V(s){displaystyle I(s)=Y(s)times V(s)}

Finalmente, pode-se encontrar a corrente elétrica no domínio do tempo através da transformada de Laplace inversa:

i(t)=L−1{I(s)}{displaystyle i(t)={mathcal {L}}^{-1}left{I(s)right}}

Exemplo:

Suponha v(t)=Au(t){displaystyle v(t)=Au(t)}

onde u(t) é a função de passo Heaviside.

Então

V(s)=As{displaystyle V(s)={A over s}}

I(s)=AL(s2+2ζs+ωo2){displaystyle I(s)={A over L(s^{2}+2zeta s+omega _{o}^{2})}}

Integral de convolução |

Uma solução separada para cada função possível para V(t) é impossível. No entanto, existe um método para encontrar uma fórmula para I(t) utilizando a convolução. Para fazer isto, é necessário uma solução para uma entrada básica, a função delta de Dirac.

Para encontrar a solução mais facilmente começa-se resolvendo-a para a função de passo Heaviside e então utilizando o facto de que o nosso circuito é um sistema linear, a sua derivada será a solução para a função delta.

A equação então será, para t>0:

{d2Iudt2+RLdIudt+1LCIu(t)=0I(0+)=0I′(0+)=1L{displaystyle left{{begin{matrix}{{d^{2}I_{u}} over {dt^{2}}}+{R over L}{{dI_{u}} over {dt}}+{1 over {LC}}I_{u}(t)=0\I(0^{+})=0qquad I'(0^{+})={1 over L}end{matrix}}right.}

Assumindo que λ₁ e λ₂ são raízes de

P(λ)=λ2+2ζλ+ωo2{displaystyle P(lambda )=lambda ^{2}+2zeta lambda +omega _{o}^{2}}

então tal como na solução para ZIR, obtêm-se 3 casos diferentes:

Sobrecarga |

Neste caso temos duas raízes reais negativas, a solução é:

Iu(t)=1L(λ1−λ2)[eλ1t−eλ2t]{displaystyle I_{u}(t)={1 over {L(lambda _{1}-lambda _{2})}}left[e^{lambda _{1}t}-e^{lambda _{2}t}right]}

⇒Iδ(t)=1L(λ1−λ2)[λ1eλ1t−λ2eλ2t]{displaystyle Rightarrow I_{delta }(t)={1 over {L(lambda _{1}-lambda _{2})}}left[lambda _{1}e^{lambda _{1}t}-lambda _{2}e^{lambda _{2}t}right]}

Carga crítica |

Nesta caso, as raízes são idênticas (λ1=λ2=λ{displaystyle lambda _{1}=lambda _{2}=lambda }), a solução é:

Iu(t)=1Lteλt{displaystyle I_{u}(t)={1 over L}te^{lambda t}}

⇒Iδ(t)=1L(λt+1)eλt{displaystyle Rightarrow I_{delta }(t)={1 over L}(lambda t+1)e^{lambda t}}

Subcarga |

Neste caso existem duas raízes complexas conjugadas (λ1=λ¯2=ζ+iωc{displaystyle lambda _{1}={bar {lambda }}_{2}=zeta +iomega _{c}}), a solução é:

Iu(t)=1ωcLeζtsin⁡(ωct){displaystyle I_{u}(t)={1 over {omega _{c}L}}e^{zeta t}sin(omega _{c}t)}

⇒Iδ(t)=1ωcLeζt[ζsin⁡(ωct)+ωccos⁡(ωct)]{displaystyle Rightarrow I_{delta }(t)={1 over {omega _{c}L}}e^{zeta t}left[zeta sin(omega _{c}t)+omega _{c}cos(omega _{c}t)right]}

Domínio da frequência |

O circuito RLC série pode ser analisado no domínio da frequência utilizando as relações de impedância complexa. Se a fonte de tensão acima produz uma forma de onda exponencial complexa com a amplitude V(s) e frequência angular s=σ+iω{displaystyle s=sigma +iomega }, a Lei de Kirchoff para Tensão pode ser aplicada:

V(s)=I(s)(R+Ls+1Cs){displaystyle V(s)=I(s)left(R+Ls+{frac {1}{Cs}}right)}

onde I(s) é a corrente complexa através de todos os componentes. Resolvendo para I tem-se:

I(s)=1R+Ls+1CsV(s){displaystyle I(s)={frac {1}{R+Ls+{frac {1}{Cs}}}}V(s)}

E rearranjando, obtém-se

I(s)=sL(s2+RLs+1LC)V(s){displaystyle I(s)={frac {s}{Lleft(s^{2}+{R over L}s+{frac {1}{LC}}right)}}V(s)}

Admitância complexa |

A seguir, a resolução para a admitância complexa Y(s):

Y(s)=I(s)V(s)=sL(s2+RLs+1LC){displaystyle Y(s)={I(s) over V(s)}={frac {s}{Lleft(s^{2}+{R over L}s+{frac {1}{LC}}right)}}}

Então, simplifica-se utilizando os parâmetros α e ω_o

Y(s)=I(s)V(s)=sL(s2+2αs+ωo2){displaystyle Y(s)={I(s) over V(s)}={frac {s}{Lleft(s^{2}+2alpha s+omega _{o}^{2}right)}}}

Note que esta expressão para Y(s) é a mesma encontrada para a Resposta de Estado Zero.

Pólos e Zeros |

Os zeros de Y(s) são os valores de s tais que Y(s)=0{displaystyle Y(s)=0}:

s=0{displaystyle s=0} e s=∞{displaystyle s=infty }

Os pólos de Y(s) são os valores de s tais que Y(s)=∞{displaystyle Y(s)=infty }:

s=−ζ±ζ2−ωo2{displaystyle s=-zeta pm {sqrt {zeta ^{2}-omega _{o}^{2}}}}

Note que os pólos de Y(s) são idênticos às raízes λ1{displaystyle lambda _{1}} e λ2{displaystyle lambda _{2}} do polinómio característico.

Estado sinusoidal constante |

Supondo s=iω{displaystyle s=iomega }, obtendo a magnitude da equação acima obtém-se:

|Y(s=iω)|=1R2+(ωL−1ωC)2{displaystyle |Y(s=iomega )|={frac {1}{sqrt {R^{2}+left(omega L-{frac {1}{omega C}}right)^{2}}}}}

A seguir, encontra-se a magnitude da corrente com uma função de ω

|I(iω)|=|Y(iω)|×|V(iω)|{displaystyle |I(iomega )|=|Y(iomega )|times |V(iomega )|}

Se os valores escolhidos fossem R = 1 ohm, C = 1 farad, L = 1 henry, e V = 1 volt, então o gráfico da magnitude da corrente I (em amperes) como uma função de ω (em radianos por segundo) seria:

Análise do estado sinusoidal constante

Note que existe um pico em Imag(ω)=1{displaystyle I_{mag}(omega )=1}. Este é conhecido como a frequência de ressonância. Resolvendo para este valor, encontra-se:

ωo=1LC{displaystyle omega _{o}={frac {1}{sqrt {LC}}}}

Circuito RLC paralelo |

Um modo de recuperar as propriedades do circuito RLC é através do uso da não-dimensionalização.

Notações do circuito RLC paralelo: V - a tensão da fonte de alimentação (medida em volts V) I - a corrente do no circuito (medida em ampères A) R - a resistência do resistor (medida em ohms = V/A); L - a indutância do indutor (medida em henrys = H = Wb/A = V·s/A) C - a capacitância do capacitor (medida em farads = F = C/V = A·s/V)

Para uma configuração paralelo dos mesmos componentes, aonde Φ é o fluxo magnético no sistema, tem-se abaixo:

Cd2Φdt2+1RdΦdt+1LΦ=I0cos⁡(ωt)⇒d2χdτ2+2ζdχdτ+χ=cos⁡(Ωτ){displaystyle C{frac {d^{2}Phi }{dt^{2}}}+{frac {1}{R}}{frac {dPhi }{dt}}+{frac {1}{L}}Phi =I_{0}cos(omega t)Rightarrow {frac {d^{2}chi }{dtau ^{2}}}+2zeta {frac {dchi }{dtau }}+chi =cos(Omega tau )}

com substituições obtém-se:

Φ=χxc, t=τtc, xc=LI0, tc=LC, 2ζ=1RLC, Ω=ωtc.{displaystyle Phi =chi x_{c}, t=tau t_{c}, x_{c}=LI_{0}, t_{c}={sqrt {LC}}, 2zeta ={frac {1}{R}}{sqrt {frac {L}{C}}}, Omega =omega t_{c}.}

A primeira variável corresponde ao fluxo magnético máximo armazenado no circuito, e a segunda variável corresponde ao período das oscilações ressonantes no circuito.

Similaridades e diferenças entre os circuitos em série e em paralelo |

As expressões para a largura de banda nas configurações em série e em paralelo são inversas. Isto é particularmente útil para determinar se uma configuração em série ou em paralelo deve ser utilizada no projecto de um circuito particular. Entretanto, na análise de circuito, geralmente, a recíproca das duas variáveis posteriores é utilizada para caracterizar o sistema. Elas são conhecidas como a frequência de ressonância e o factor Q, respectivamente.

Aplicações dos circuitos ajustados |

Existem muitas aplicações para os circuitos ajustados, especialmente nos sistemas de rádio e comunicações. Eles podem ser utilizados para selecionar uma certa faixa de frequências de um espectro total de ondas de rádio.

Ligações externas |

• Calculadora - Circuito RLC em estado estacionário