Tjyylli

Em matemática, a função teta de Ramanujan generaliza a forma das funções tetas de Jacobi, enquanto mantém suas propriedades gerais. Em particular, o produto triplo de Jacobi toma uma forma particularmente elegante quando escrita na forma da teta de Ramanujan. A função recebe esse nome em referência a Srinivasa Ramanujan; esta foi sua última grande contribuição para a matemática.

Definição |

A função teta de Ramanujan é definida como

f(a,b)=∑n=−∞∞an(n+1)/2bn(n−1)/2{displaystyle f(a,b)=sum _{n=-infty }^{infty }a^{n(n+1)/2};b^{n(n-1)/2}}

para |ab|<1.{displaystyle |ab|<1.} A identidade do produto triplo de Jacobi toma a forma

f(a,b)=(−a;ab)∞(−b;ab)∞(ab;ab)∞{displaystyle f(a,b)=(-a;ab)_{infty };(-b;ab)_{infty };(ab;ab)_{infty }}

Aqui, a expressão (a;q)n{displaystyle (a;q)_{n}} denota o símbolo q-Pochhammer. Identidades que seguem dela incluem

f(q,q)=∑n=−∞∞qn2=(−q;q2)∞(q2;q2)∞(−q2;q2)∞(q;q2)∞{displaystyle f(q,q)=sum _{n=-infty }^{infty }q^{n^{2}}={frac {(-q;q^{2})_{infty }(q^{2};q^{2})_{infty }}{(-q^{2};q^{2})_{infty }(q;q^{2})_{infty }}}}

e

f(q,q3)=∑n=0∞qn(n+1)/2=(q2;q2)∞(q;q2)∞{displaystyle f(q,q^{3})=sum _{n=0}^{infty }q^{n(n+1)/2}={frac {(q^{2};q^{2})_{infty }}{(q;q^{2})_{infty }}}}

e

f(−q,−q2)=∑n=−∞∞(−1)nqn(3n−1)/2=(q;q)∞{displaystyle f(-q,-q^{2})=sum _{n=-infty }^{infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}=(q;q)_{infty }}

esta última sendo a função de Euler, que está intimamente relacionada com a função eta de Dedekind.

Referências |

• W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.


• George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.