Tjyylli

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Distribuições de densidade de probabilidade da velocidade molecular de quatro gases nobres a uma temperatura de 298,15 K (25 °C). Os quatro gases são hélio (⁴He), néon (²⁰Ne), argon (⁴⁰Ar) y xénon (¹³²Xe); os subíndices indicam os seus números de massa.

A raiz da velocidade quadrática média é uma medida da velocidade de uma partícula num gás. A mesma se expressa mediante a fórmula:

vrms=3RTMm{displaystyle v_{rms}={sqrt {{3RT} over {M_{m}}}}}

onde v_rms é a raiz da média quadrática da velocidade, M_m é a massa molar do gás, R é a constante universal dos gases perfeitos, e T é a temperatura em Kelvin.

Para a dedução dessa fórmula, considera-se um recipiente fechado cúbico de arestas de comprimento L, e uma molécula de gás com massa m e velocidade v.

Tem-se que o sentido da velocidade vx da molécula é perpendicular a uma das paredes, e que as colisões com a parede são elásticas. O
momento transferido para a parede em uma colisão é dado por:

Δpx=(−m.vx)−(m.vx)=−2.m.vx{displaystyle Delta p_{x}=(-m.v_{x})-(m.v_{x})=-2.m.v_{x}}

Devemos considerar que a molécula se choca contra uma das paredes do recipiente a cada intervalo Δt. Como o espaço percorrido é 2L, a uma velocidade vx, temos que Δt=2Lvx{displaystyle Delta t={2L over v_{x}}}.

Com a união dessas duas relações, obtém-se a variação do momento em relação ao tempo:

ΔpΔt=mvx2L=Fx{displaystyle {Delta p over Delta t}={mv_{x}^{2} over L}=F_{x}}

Recipiente cúbico com uma molécula de gás.

Que, pela segunda lei de Newton , é a força perpendicular a uma das paredes. Dividindo a força somada de todas moléculas pela área, obtemos a pressão sobre aquela parede.

P=FxL2=mL3(vx12+vx22+...+vxN2){displaystyle P={F_{x} over L^{2}}={m over L^{3}}(v_{x1}^{2}+v_{x2}^{2}+...+v_{xN}^{2})}
, onde N é o número de moléculas dentro do cubo.

Sabendo que N=n.NA{displaystyle N=n.N_{A}}, onde NA{displaystyle N_{A}} é o número de Avogadro e n{displaystyle n} é o número de mols, a soma das velocidades individuais pode ser substituida pela velocidade de 1 mol de moléculas x Número de Avogadro:

P=mnNAL3(vx2)med{displaystyle P={mnN_{A} over L^{3}}(v_{x}^{2}){med}}

Com L3{displaystyle L^{3}} sendo o volume V e m.NA{displaystyle m.N_{A}} sendo a massa molar M, e considerando que todas as moléculas do recipiente tem movimentos em direções aleatórias, ou seja, Vx2=Vy2=Vz2=13.V2{displaystyle V_{x}^{2}=V_{y}^{2}=V_{z}^{2}={1 over 3}.V^{2}}, podemos simplificar a pressão para:

P=nM3V(v2)med{displaystyle P={nM over 3V}(v^{2}){med}}

Finalmente, isolando vmed2{displaystyle v_{med}^{2}} = vrms2{displaystyle v_{rms}^{2}}em função das outras variáveis e substituindo PV com a Lei dos gases ideais (PV=nRT{displaystyle PV=nRT}), obtemos a equação da velocidade quadrática média para gases ideais^[1]:

vrms=3RTMm{displaystyle v_{rms}={sqrt {{3RT} over {M_{m}}}}}

Este conceito é muito adequado tanto para o caso de gases com comportamento próximos de gases ideais como o hélio e o oxigénio diatómico. Podemos expressar a raiz da velocidade média quadrática em função da constante de Boltzmann:

vrms=3kTm{displaystyle v_{rms}={sqrt {{3kT} over {m}}}}

onde m é a massa de uma molécula do gás.

Utilizando o Princípío de Lei da conservação da energia:

Ek=32nRT=32NkT{displaystyle E_{mathrm {k} }={{3} over {2}}nRT={frac {3}{2}}NkT}

onde E_k é a energia cinética e No número de moléculas do gás.

Ek,molecula=12mv2{displaystyle E_{mathrm {k,molecula} }={{1} over {2}}mv^{2}}

Dado que v² não considera a direcção do movimento, é lógico assumir que a fórmula pode ser estendida a toda a amostra, substituindo m pela massa de toda a amostra, ou seja a massa molar multiplicada pelo número de moles, "nM", resultando:

12nMv2=Ek{displaystyle {{1} over {2}}nMv^{2}=E_{mathrm {k} }}

Portanto:

vrms=2Ekm{displaystyle v_{mathrm {rms} }={sqrt {{2E_{mathrm {k} }} over {m}}}}

o qual é equivalente.

Um exemplo importante onde é necessário conhecer as velocidades de um gás é a Distribuição de Maxwell-Boltzmann, e têm aplicações como o estudo de partículas de alta velocidade na superfície do sol e na superfície de um lago, por exemplo.

Referências

Ver também |

• Constante de Boltzmann