Raiz da velocidade quadrática média Referências Ver também | Menu de navegaçãomelhore
Gases
raiz da média quadráticamassa molarconstante universal dos gases perfeitostemperaturaKelvinmomentosegunda lei de Newtonnúmero de Avogadromassa molarLei dos gases ideaisgases ideaishéliooxigénioconstante de BoltzmannLei da conservação da energiaenergia cinéticaDistribuição de Maxwell-Boltzmann
A raiz da velocidade quadrática média é uma medida da velocidade de uma partícula num gás. A mesma se expressa mediante a fórmula:
- vrms=3RTMm{displaystyle v_{rms}={sqrt {{3RT} over {M_{m}}}}}
onde vrms é a raiz da média quadrática da velocidade, Mm é a massa molar do gás, R é a constante universal dos gases perfeitos, e T é a temperatura em Kelvin.
Para a dedução dessa fórmula, considera-se um recipiente fechado cúbico de arestas de comprimento L, e uma molécula de gás com massa m e velocidade v.
Tem-se que o sentido da velocidade vx da molécula é perpendicular a uma das paredes, e que as colisões com a parede são elásticas. O
momento transferido para a parede em uma colisão é dado por:
Δpx=(−m.vx)−(m.vx)=−2.m.vx{displaystyle Delta p_{x}=(-m.v_{x})-(m.v_{x})=-2.m.v_{x}}
Devemos considerar que a molécula se choca contra uma das paredes do recipiente a cada intervalo Δt. Como o espaço percorrido é 2L, a uma velocidade vx, temos que Δt=2Lvx{displaystyle Delta t={2L over v_{x}}}.
Com a união dessas duas relações, obtém-se a variação do momento em relação ao tempo:
ΔpΔt=mvx2L=Fx{displaystyle {Delta p over Delta t}={mv_{x}^{2} over L}=F_{x}}
Que, pela segunda lei de Newton , é a força perpendicular a uma das paredes. Dividindo a força somada de todas moléculas pela área, obtemos a pressão sobre aquela parede.
P=FxL2=mL3(vx12+vx22+...+vxN2){displaystyle P={F_{x} over L^{2}}={m over L^{3}}(v_{x1}^{2}+v_{x2}^{2}+...+v_{xN}^{2})}
, onde N é o número de moléculas dentro do cubo.
Sabendo que N=n.NA{displaystyle N=n.N_{A}}, onde NA{displaystyle N_{A}} é o número de Avogadro e n{displaystyle n} é o número de mols, a soma das velocidades individuais pode ser substituida pela velocidade de 1 mol de moléculas x Número de Avogadro:
P=mnNAL3(vx2)med{displaystyle P={mnN_{A} over L^{3}}(v_{x}^{2}){med}}
Com L3{displaystyle L^{3}} sendo o volume V e m.NA{displaystyle m.N_{A}} sendo a massa molar M, e considerando que todas as moléculas do recipiente tem movimentos em direções aleatórias, ou seja, Vx2=Vy2=Vz2=13.V2{displaystyle V_{x}^{2}=V_{y}^{2}=V_{z}^{2}={1 over 3}.V^{2}}, podemos simplificar a pressão para:
P=nM3V(v2)med{displaystyle P={nM over 3V}(v^{2}){med}}
Finalmente, isolando vmed2{displaystyle v_{med}^{2}} = vrms2{displaystyle v_{rms}^{2}}em função das outras variáveis e substituindo PV com a Lei dos gases ideais (PV=nRT{displaystyle PV=nRT}), obtemos a equação da velocidade quadrática média para gases ideais[1]:
vrms=3RTMm{displaystyle v_{rms}={sqrt {{3RT} over {M_{m}}}}}
Este conceito é muito adequado tanto para o caso de gases com comportamento próximos de gases ideais como o hélio e o oxigénio diatómico. Podemos expressar a raiz da velocidade média quadrática em função da constante de Boltzmann:
- vrms=3kTm{displaystyle v_{rms}={sqrt {{3kT} over {m}}}}
onde m é a massa de uma molécula do gás.
Utilizando o Princípío de Lei da conservação da energia:
- Ek=32nRT=32NkT{displaystyle E_{mathrm {k} }={{3} over {2}}nRT={frac {3}{2}}NkT}
onde Ek é a energia cinética e No número de moléculas do gás.
- Ek,molecula=12mv2{displaystyle E_{mathrm {k,molecula} }={{1} over {2}}mv^{2}}
Dado que v² não considera a direcção do movimento, é lógico assumir que a fórmula pode ser estendida a toda a amostra, substituindo m pela massa de toda a amostra, ou seja a massa molar multiplicada pelo número de moles, "nM", resultando:
- 12nMv2=Ek{displaystyle {{1} over {2}}nMv^{2}=E_{mathrm {k} }}
Portanto:
- vrms=2Ekm{displaystyle v_{mathrm {rms} }={sqrt {{2E_{mathrm {k} }} over {m}}}}
o qual é equivalente.
Um exemplo importante onde é necessário conhecer as velocidades de um gás é a Distribuição de Maxwell-Boltzmann, e têm aplicações como o estudo de partículas de alta velocidade na superfície do sol e na superfície de um lago, por exemplo.
Referências
↑ Fundamentos da física: Gravitação, ondas e termodinâmica Nona Ed. Rio de Janeiro - RJ ed. [S.l.]: LTC. 2012. ISBN 9788521619048|nome1=
sem|sobrenome1=
em Authors list (ajuda)
Ver também |
- Constante de Boltzmann